Ex. de operações com cojuntos numéricos

(PUCC) Sejam $\,M\,=\,\lbrace \,x\in \mathbb{R}\;\mid\; 0 \, \leqslant \, x \, \leqslant 5 \,\rbrace\,$ e $\,P\,=\,\lbrace \,x\in \mathbb{R}\;\mid\; 3 \, \leqslant \, x \, \leqslant 7 \,\rbrace\,$. O conjunto $\,(M\,-\,P)\,\times\,(P\,-\,M)\,$ é representado pela região:

produto cartesiano m menos p por p meno m

$\,R_1\phantom{XX}$

$\,R_2$

$\,R_3\phantom{XX}$

$\,R_4\,$

$\,R_1 \, \cup \, R_4\,$

resposta: (D)
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(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)

Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.

Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.

Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.

resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$
$\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$
b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$
c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.

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